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Come risolvere esercizio 4 pagina 179 prova A libro (3°Matematica.verde Seconda edizione)

Testo

il parallelogramma ABCD…

Soluzione

il punto B ha coordinate \((-2;0)\) esattamente come rappresentato in figura seguente:

Il punto D del parallelogramma sta sulla retta che giace su PB e vale:

\(\overline{PB}=\overline{PD}\)

Siccome il punto D ha sicuramente coordinate date da:

\(D(x;\frac{x}{2}+1)\)

Allora:

\(\sqrt{(4-(-2))^2+(3-0)^2}=\) ;

\(\sqrt{(4-x)^2+(3-(\frac{x}{2}+1))^2}\)

\(4-(-2))^2+(3-0)^2=\)\(=(4-x)^2+(3-(\frac{x}{2}+1))^2\)

\(45=(4-x)^2+(2-\frac{x}{2})^2\)

\(45=(4-x)^2+\frac{1}{4}(4-x)^2\)

\(180=5(4-x)^2\)

\(36=(4-x)^2\)

\( \pm 6=4-x\)

\(x= \pm 6+4\)

Di cui la soluzione cercata è:

\(x=10\)

Per cui:

\(D(10;6)\)

Come in figura:

La retta che passa per \(AP\) è data da:

\(r_{AP}:\frac{y-4}{x-1}=\frac{3-4}{4-1}\)

\(y-4=-\frac{1}{3}(x-1)\)

\(y=-\frac{1}{3}x+\frac{13}{3}\)

Il punto C del parallelogramma sta sulla retta che giace su AP e vale:

\(\overline{AP}=\overline{CP}\)

Perciò, siccome il punto C ha sicuramente coordinate date da:

\(C(x;-\frac{1}{3}x+\frac{13}{3})\)

Allora:

\(\sqrt{(4-1)^2+(3-4)^2}=\sqrt{(4-x)^2+(3-(-\frac{1}{3}x+\frac{13}{3}))^2}\)

\((4-1)^2+(3-4)^2=(4-x)^2+(3-(3-(-\frac{1}{3}x+\frac{13}{3}))^2\)

\(10=(4-x)^2+(3+\frac{1}{3}x-\frac{13}{3})^2\)

\(10=(4-x)^2+(\frac{1}{3}x-\frac{4}{3})^2\)

\(10=(4-x)^2+\frac{1}{9}(x-4)^2\)

\(10=\frac{10}{9}(4-x)^2\)

\(9=(4-x)^2\)

\(x=4 \pm 3\)

Di cui la soluzione cercata è:

\(x=7\)

Per cui:

\(C(7;2)\)

Il perimetro del parallelogramma sarà poi dato da:

\(P_{par}=2( \overline{AB}+ \overline{AD})\)

Per cui:

\(P_{par}=2(\sqrt{(-2-1)^2+(0-4)^2}+\sqrt{(10-1)^2+6-4)^2})\)

\(P_{par}=2(\sqrt{25}+\sqrt{85})\)

\(P_{par}=2(\sqrt{25}+\sqrt{85})=10+2\sqrt{85}\)

La retta che passa per AB è data da:

\(r_{AB}:\frac{y-4}{x-1}=\frac{0-4}{-2-1}\)

\(y-4=\frac{4}{3}(x-1)\)

\(3y-12=4x-4\)

\(4x-3y+8=0\)

Per l’area si considera che la distanza della retta \(r_{AB}\) rispetto al punto \(C\) è data da:

\( \overline{CH}=\frac{|(4)(7)+(-3)(2)+(+8)|}{\sqrt{(4)^2+(-3)^2}}=\frac{30}{\sqrt{25}}=6\)

Per cui l’aera del parallelogramma è data da:

\(A_{par}=\overline{AB}*\overline{CH}=5*6=30\)