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Soluzione esercizio 9 pagina 297 volume 2 (le traiettorie della fisica azzurro) 

Testo 

Uno sciatore di 70kg parte da fermo dalla sommità di un tratto di pista da discesa libera. Il tratto è lungo \(3⋅10^2 m\)e ha un’inclinazione di 30° rispetto alla direzione orizzontale. Il coefficiente di attrito tra gli sci e la neve è \(μ=0.31\).

  • Disegna in un opportuno sistema di riferimento l’insieme delle forze che agiscono sullo sciatore 
  • Calcola quanto tempo impiega lo sciatore a raggiungere la base della pista

Soluzione 

Sullo sciatore agiscono tre forze principali: 

  • La forza peso \(F_p\); 
  • La forza normale al piano \(N\); 
  • La forza d’attrito \(F_A\). 

In Figura 1 sono rappresentate le tre forze menzionate, il piano cartesiano di riferimento e anche le componenti della forza peso \(F_p\) nel piano cartesiano scelto.

Figura 1 Rappresentazione delle forze coinvolte agenti sullo sciatore. Le forze sono tre: la forza peso, l’attrito e la forza normale al piano. Le altre due sono le componenti della forza peso lungo il piano cartesiano 

Per rispondere al punto 2 si deve tenere in considerazione che lo sciatore ha un’accelerazione lungo il piano inclinato pari a: 

\(a=\frac{F_{p,x}-F_A}{m}\)

In cui: 

  • \(F_{p,x}\) è la componente lungo xx della forza peso dello sciatore; 
  • \(F_A\) è la forza d’attrito che agisce sullo sciatore; 
  • \(m\) è la massa dello sciatore; 
  • \(a\) è l’accelerazione netta alla quale è sottoposto lo sciatore. 

Si sa che:

\(F_A=μN\)

In cui \(N\) è la forza normale ed è uguale a sua volta a:

\(N=F_{p,y}=F_p*cos30°\)

Cioè alla componente sull’asse \(y\) di \(F_p\).

Quindi:

\(a=\frac{F_{p,x}-μF_p cos30°}{m}\)

Osservando che:

\(F_{p,x}=F_p*sin30°\)

Si ha che:

\(a=\frac{F_p*sin30°-μF_p cos30°}{m}\)

\(a=\frac{F_p*sin30°-μ cos30°}{m}\)

E, considerando che \(F_p=mg\):

\(a=9.81\frac{m}{s^2}(\frac{1}{2}-0.31*\frac{\sqrt{3}}{2})\approx 2.271\frac{m}{s^2}\)

Per il moto uniformemente accelerato in cui la velocità e la posizione iniziale sono entrambe zero si ha:

\(x=\frac{1}{2}at^2\)

in cui \(x\) è la posizione dello sciatore e \(t\) il tempo trascorso. Per cui:

\(t=\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2(3*10^2m)}{2.271\frac{m}{s^2}}}\approx16s\) Perciò il tempo che impiega lo sciatore a raggiungere la base della pista è di 16 secondi.