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Esercizio numero 547 a pagina 322 (la matematica a colori 5) 

Testo 

Determina a, b, c e d in modo che la curva di equazione \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) soddisfi le seguenti condizioni:

  1. Passa per l’origine e che ha in tale punto per tangente la bisettrice del primo e del terzo quadrante; 
  1. Passa per il punto di coordinate (1,0) e ha in tale punto per tangente la retta di equazione \(y=x-1\).

Soluzione

Punto a

Essendo che la funzione passa per l’origine deve essere:

\(0=a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d\)

\(d=0\)

Inoltre la derivata dell’equazione presente nel testo è la seguente:

\(f'(x)=3ax^3+2bx+c\)

Ricordando che la bisettrice del primo e del terzo quadrante ha equazione:

\(y=x\)

Deve essere vero che:

\(f'(x=0)=1\)

Poiché la derivata calcolata in zero è pari a:

\(f'(x=0)=c\)

è facile intuire come:

\(c=1\)

Soddisfando le richieste relative al punto a quindi la funzione diventa:

\(f'(x)=ax^3+bx^2+x\)

Punto b

Essendo che la funzione deve passare per il punto (1;0) deve essere:

\(0=a(1)^3+b(1)^2+(1)\)

\(a+b+1=0\)

Siccome la retta tangente punto (1;0) ha equazione \(y=x-1\) , deve essere che:

\(f'(x=1)=1\)

In quanto il coefficiente della retta desiderata come tangente è pari a 1.

Perciò se è vero che:

\(f'(x)=3ax^2+2bx+1\)

Allora, ricordando che deve essere \(f'(x=1)=1\), è vero anche che:

\(3a(1)^2+2b(1)+1=1\)

\(3a+2b=0\)

Le condizioni trovate grazie al punto b devono essere entrambe soddisfatte e perciò devono essere messe a sistema. In questo modo possono trovarsi i rimanenti valori incogniti richiesti dal problema. 

Si procede dunque come segue: 

\(\left\{\begin{matrix}a+b+1=0\\3a+2b=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}a=-b-1\\-3b-3+2b=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}a=2\\b=-3\end{matrix}\right.\)

Perciò in definitiva la funzione soluzione, richiesta dal problema e che soddisfa le imposizioni del punto a del punto b, è la seguente: (Scarica il file gratuitamente per visualizzare la soluzione).

\(f(x)=2x^3-3x^2+1\)

Ovvero \(a=2, b=-3, c=1, d=0\).