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Come risolvere esercizio pagina 386 numero 44 (La Matematica a colori edizione blu per il secondo biennio 3)  

Testo

Difficoltà: scuola superiore

Materia: Matematica

Data la circonferenza di equazione \(x^2+y^2-4y=0\), determina le coordinate dei vertici del quadrato inscritto nella circonferenza, con i lati paralleli agli assi cartesiani.

Soluzione

La circonferenza di interesse è rappresentata nella figura seguente.

Rappresentazione matematica della circonferenza dell'esercizio
Figura 1 Rappresentazione della circonferenza di interesse

Il quadrato di interesse sarà determinato da 4 rette così definite:

\(r_1:x=k_1\)

\(r_2:x=k_2\)

\(r_3:y=k_3\)

\(r_4:y=k_4\)

I punti del quadrato saranno 4 e definiti come segue:

\(P_1(k1;k3)\)

\(P_2(k2;k3)\)

\(P_3(k1;k4)\)

\(P_4(k2;k4)\)

Per vincolo associato al quadrato è vero che il lato \(l\) del quadrato è pari a:

\(l=k_2-k_1=k_4-k_3\)

La retta \(r_1:x=k_1\) deve intersecare la circonferenza in due punti dati dal sistema:

\(\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-4y=0\\x=k_1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}k_1^2+y^2-4y=0\\x=k_1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}y^2-4y+k_1^2=0\\x=k_1\end{matrix}\right.\)

Considerando \(y^2-4y+k_1^2=0\) si ha:

\(y_{1,2}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4(1)(k_1)^2}}{2}\)

\(y_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{16-4k_1^2}}{2}\)

\(y_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt[2]{4-k_1^2}}{2}\)

\(y_{1,2}=2 \pm \sqrt{4-k_1^2}\)

Quindi:

\(y_1=2-\sqrt{4-k_1^2} \) ;

\(y_2=2+\sqrt{4-k_1^2}\)

E siccome:

\(y_2-y_1=k_4-k_3=l\)

Si può dire che:

\(l=(2+\sqrt{4-k_1^2})-(2-\sqrt{4-k_1^2})=\sqrt[2]{4-k_1^2}\)

Per costruzione la diagonale \(d\) del quadrato è uguale al diametro \(D\) della circonferenza:

\(D=d=\sqrt{2l}\)

il centro e il raggio della circonferenza possono trovarsi considerando che:

\(x^2+y^2-4y=0\)

\(x^2+y^2-4y+4-4=0\)

\(x^2+y^2-4y+4-4=0\)

\(x^2+y^2-4y+4=4\)

\((x-0)^2+(y-2)^2=4\)

Ricordando che:

\((x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\)

in cui:

  • \((C x_c;y_c)\) è il centro; 
  • \(r\) è il raggio; 

Si capisce che il diametro della circonferenza di interesse è: 

\(D=4\)

E quindi deve essere che:

\(2\sqrt{2}\sqrt{4-k_1^2}=42\sqrt{2}\sqrt{4-k_1^2}=4\)

\(\sqrt{2}\sqrt{4-k_1^2}=2\)

\(2(4-k_1^2)=4\)

\(-k_1^2=2-4\)

\(k_1^2=2\)

\(k_1=\sqrt{2}\)

Perciò in simmetria:

\(k_2=-\sqrt{2}\)

Quindi:

\(r_1:x=\sqrt{2}\)

\(r_2:x=-\sqrt{2}\)

Inoltre le rette orizzontali saranno date, considerando che il centro della circonferenza è in \((0;2)\), da: 

\(r_3:y=2-\sqrt{2}\)

\(r_4:y=2+\sqrt{2}\)

Nella figura all’interno del file scaricabile, vengono mostrate le 4 rette identificate, come prova del fatto che identificano un quadrato. 

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