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Come risolvere esercizio numero 372 pagina 293 (3° Matematica.verde) 

Testo 

Trova le circonferenze concentriche a quelle di equazione: 

\(x^2+y^2+6x-2y+1=0\)

Determina

  1. Quella passante per \(A(0;−3)\)
  1. Quella tangente alla retta di equazione \(4x+3y+4=0\)

Soluzione

Punto 1

Ricordiamo che la formula implicita della circonferenza è \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\) è noto che il centro della circonferenza è dato da:

\(C(-\frac{\alpha}{2};-\frac{\beta}{2})\rightarrow C (-\frac{(+6)}{2};-\frac{-2}{2})\rightarrow C(-3;1)\)

La circonferenza cercata, poiché concentrica ha stesso centro, perciò sarà nella forma:

\(x^2+y^2+6x-2y+\gamma=0\)

Con \gamma da definire.

Per trovare \gamma si impone il passaggio per \(A(0;-3)\):

\((0)^2+(-3)^2+6(0)-2(-3)+\gamma=0\)

\(9+6+\gamma=0\)

\(\gamma=-15\)

Perciò la circonferenza concentrica passante per \(A(0;-3)\) è:

\(x^2+y^2+6x-2y-15=0\)

Figura 0.1 La circonferenza verde è quella ricercata 

Punto 2

La condizione di tangenza viene rispettata se il sistema:

\(\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+6x-2y+\gamma=0\\4x+3y+4=0\end{matrix}\right.\)

Ha una sola soluzione.

Perciò:

\(\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+6x-2y+\gamma\\4x+3y+4=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+6x-2y+\gamma\\y=-\frac{4}{3}x–\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}x^2+(-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3})^2+6x-2(-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3})\gamma\\y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}x^2+(-\frac{16}{9}x^2-\frac{32}{9}x+\frac{16}{9})+6x+\frac{8}{3}x+\frac{8}{3}+\gamma\\y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}x^2+-\frac{16}{9}x^2-\frac{32}{9}x+\frac{16}{9}+6x+\frac{8}{3}x+\frac{8}{3}+\gamma\\y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}\frac{25}{9}x^2+\frac{110}{9}x+\frac{16+24}{9}+\gamma\\y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}\frac{25}{9}x^2+\frac{110}{9}x+\frac{40}{9}+\gamma\\y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}25x^2+110x+(40+9\gamma)=0\\y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Si esamini ora \(25x^2+110x+(40+9\gamma)=0\)

Deve valere:

\(Δ=0\)

Ovvero: \(b^2-4ac=0\)

Quindi:

\((110)^2-4(25)(40+9\gamma)=0\)

\(12100-100(40+9\gamma)=0\)

\(12100-4000-900\gamma=0\)

\(8100-900\gamma=0\)

\(\gamma=\frac{8100}{900}=9\)

Perciò la circonferenza cercata è:

\(x^2+y^2+6x-2y+9=0\)

Diagram

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Figura 0.2 La circonferenza celeste è quella ricercata