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Come risolvere esercizio numero 248 pagina 280 (3 A Matematica.verde) 

Testo

Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti \(A(-2;0)\),\(B(3;1)\) e avente il centro \(C\) sull’asse delle ordinate.

Soluzione

Si ricorda che l’equazione implicita di una circonferenza è:

\(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\)

Si tenga in considerazione che un qualsiasi punto \(C\) (in questo caso anche centro della circonferenza) sull’asse delle ordinate possiede coordinate del tipo:

\(C(0,y_c)\)

La circonferenza però non passa per il centro. Piuttosto essa è definita a partire dalla posizione del centro considerando i punti equidistanti dal centro stesso

È dunque evidente che se i punti \(A\) \(B\) appartengono alla circonferenza allora essi saranno equidistanti dal punto \(C\)

Ricordando quindi la formula generale di distanza euclidea tra due punti:

Ricordando quindi la formula generale di distanza euclidea tra due punti:

\(\overline{AC}=\sqrt{(X_C-x_A)^2+ (y_C-y_A)^2}\)

Ma anche:

\(\overline{BC}=\sqrt{(X_C-x_B)^2+ (y_C-y_B)^2}\)

E siccome:

\(\overline{BC}=\overline{AC}\)

\(\sqrt{(X_C-x_A)^2+ (y_C-y_A)^2}=\sqrt{(X_C-x_B)^2+ (y_C-y_B)^2}\)

Di cui unica incognita è \(y_c\).

Ma quindi:

\(\sqrt{0-(-2))^2+(y_c -0)^2}=\sqrt{(0-3)^2+(y_C-1)^2}\)

\( 4+y^2_C=9+y^2_C-2_{yC}+1\)

\(y_C=3\)

Quindi il centro della circonferenza ha coordinate:

\(C(0;3)\)

La formula della circonferenza con centro di coordinate \(C(0;3)\) può essere scritta come segue:

\((x-0)^2+(y-3)^2=r^2\)

in cui \(r\) è il raggio della circonferenza ed è quindi uguale a \(\overline{AC}\) oppure \(\overline{BC}\) a scelta.

Quindi per esempio:

\(r=\overline{AC}=\sqrt{(x_c-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(0+2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13}\)

E allora, visto che \(r^2=13\), l’equazione della circonferenza ricercata sarà:

\((x-0)^2+(y-3)^2=13\)

\((x^2+y^2-6y+9)=13\)

\((x^2+y^2-6y-4)=0\)

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