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Come risolvere esercizio numero 24 capitolo 9 (Le traiettorie della fisica Azzurro)

Testo

Un pallone viene lanciato con una velocità di 8.7 m/s e con un’inclinazione di 60° rispetto al suolo. Determina la massima altezza che il pallone può raggiungere.

Soluzione

Il sistema che descrive il moto del pallone è:

\( \left \{ \begin{matrix} x=v_{0, x}t \\ y=v_{0, y}-\frac{1}{2} g t^{2} \end{matrix} \right. \)

in cui:

  • \(x\)è la coordinata di \(x\) della posizione del corpo;
  • \(y\) è la coordinata \(y\) della posizione del corpo;
  • \(v_{0, x}\) è la velocità iniziale del pallone lungo \(x\);
  • \(v_{0, y}\) è la velocità inziale del pallone lungo \(y\);
  • \(g\) è accelerazione gravitazionale \(9.81\frac{m}{s^2}\)

si può affermare che:

\(v_{0, x}=8.7 \frac{m}{\mathrm{~s}} \cdot \cos 60^{\circ}=8.7 \cdot \frac{1}{2}=4.35 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
\(v_{0, y}=8.7 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot \sin 60^{\circ}=8.7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 7.534 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)

quindi:

\( \left \{ \begin{array}{c}x=4.35 t \\ y=7.534 t-4.905 t^{2}\end{array} \right. \)

Si sa che \(y=7.534 t-4.905 t^{2}\) è una parabola che interseca nell’origine e di cui il verice si trova a metà del tempo.

Figura 1 Rappresentazione della parabola \(y=7.534 t-4.905 t^{2}\)

Bisogna quindi trovare il tempo di caduta:

\(7.534t-4.905t^2=0\)

\(t(7.534-5.905t)=0\)

\(t_1=0_s;t_2= \frac{7.534}{4.905}=1536s\)

quindi a \( \frac{t_2}{2} \) raggiunge l’altezza massima:

\( \frac{t_2}{2}=\frac{1.536}{2}s=0.768s\)

quindi:

\( y_{max }=7.534 \frac{\mathrm{t}_{2}}{2}-4.905\left(\frac{\mathrm{t}_{2}}{2}\right)^{2} \)

\(y_{max }=7.534 \cdot 0.768-4.905(0.768)^{2} \approx 2.893 \mathrm{m} \)