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Come risolvere esercizio n.35 pag 177 (Matematica.verde 3G)

L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • n.35 pag. 177 Matematica.verde 3A
  • n.35 pag. 255 Matematica.blu 2.0 3 – Seconda edizione
  • n.35 pag. 255 Manuale blu 2.0 di matematica 3A – 3A Plus
  • n.35 pag.215 Matematica.rosso 3 – Seconda edizione

Testo

Riconosci se il fascio di equazione \( 3 a x+4 a y+3 a-1=0 \) è proprio o improprio e determina l’equazione della retta del fascio:

  1. passante per il punto \( \left(\frac{2}{3},-1\right) \);
  2. passante per l’origine.

Prerequisiti

Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. fascio proprio o improprio;
  2. retta passante per un punto;
  3. retta passante per l’origine;
  4. distanza dalla retta;
  5. coefficiente angolare.

Soluzione

Il coefficiente angolare del fascio è:

\(m_f=-\frac{3a}{4a}=-\frac{3}{4}\)

Il fascio di rette è improprio.

Punto a

Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per il punto.

Utilizziamo la formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare \(m_f\)

\(y-y_p=m_f(x-x_p)\)

Sostituendo i valori si ha:

\(y+1=-\frac{3}{4}(x-\frac{2}{3})\)

\(y+1=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2} \rightarrow \frac{3}{4} x+y+1-\frac{1}{2}=0\)

\( \rightarrow\frac{3}{4}x+y+\frac{2-1}{2}=0 \rightarrow\)

\( \rightarrow \frac{3}{4}x+y+\frac{1}{2}=0 \rightarrow\)

\( \rightarrow 3x+4y+2=0\)

Punto b

Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per l’origine.

Utilizziamo la formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare \(m_f\):

\(y-y_0=m_f(x-x_0)\)

Sostituendo i valori si ha:

\(y-0=-\frac{3}{4}(x-0) \rightarrow y=-\frac{3}{4}x \rightarrow \)

\( \rightarrow \frac{3}{4}x+y=0 \rightarrow\)

\( \rightarrow 3x+4y=0\)