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Come determinare il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno conoscendo la sua energia di ionizzazione

Testo

Determina il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno sapendo che la sua energia di ionizzazione, cioè la minima energia richiesta per allontanare da esso un elettrone, è di 13,6 eV.

Figura 1 rappresentazione di un atomo generico.

Prerequisiti


Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. I concetti di energia potenziale ed energia cinetica;
  2. La seconda legge della dinamica;
  3. Come invertire le formule;
  4. La carica dell’elettrone e del protone;
  5. La costante di Coulomb;
  6. Il concetto di energia totale
  7. La teoria associata al moto circolare uniforme
  8. Come convertire gli elettronVolt (eV) in Joule (J).

Soluzione

L’elettrone dell’atomo di idrogeno ruota intorno al nucleo mantenendo un’energia potenziale data dalla formula: 

\(U=-k\frac{q_p q_e}{r}\)

in cui:

\(U\) è l’energia potenziale posseduta dall’elettrone;

\(q_p\) è la carica del protone ed è nota, pari a \(1.602 *10^{-19}C\)

\(q_e\) è la carica dell’elettrone ed è nota, pari a \(1.602*10^{-19}C\)

\(r\) è la distanza tra le due cariche;

\(k\)è la costante di Coulomb pari a \(8.987 * 10^9\) \(\frac{kg*m^3}{s^2C^2} \)

Orbitando attorno al nucleo di idrogeno possiede la propria energia cinetica, la quale è data la formula:

\(K=\frac{1}{2}m_c v^2_c\)

In cui:

\(K\) è l’energia cinetica posseduta dall’elettrone nell’orbitare intorno al nucleo;

\(m_c\) è la massa dell’elettrone;

\(v_c\) è la velocità dell’elettrone nell’orbitare intorno al nucleo.

L’energia totale dell’elettrone è quindi la somma delle due energie (potenziale e cinetica), cioè;

\(E_{TOT}=U+K\)

L’energia totale posseduta dall’elettrone è quella che bisogna annullare se lo si vuole portare lontano dal nucleo all’infinito. 

\(E_{TOT}=-k \frac{q_p q_e}{r}+\frac{1}{2}m_e v^2_e\)

In un moto circolare uniforme c’è una relazione tra la velocità tangenziale e l’accelerazione centripeta, data da: 

\(a_c=\frac{v^2_e}{r}\)

In cui:

\(a_e\) è l’accelerazione centripeta che subisce l’elettrone nell’orbitare intorno al nucleo

\(v_e\) è la velocità che possiede l’elettrone nell’orbitare intorno al nucleo;

\(r\) è la distanza tra le due cariche.

Siccome la legge di Coulomb dice che:

\(F=k \frac{q_p q_e}{r^2}\)

In cui:

\(F\) è la forza con cui viene attratto l’elettrone verso il nucleo;

\(q_p\) è la carica del protone ed è nota, pari a \(1.602*10^{-19}C \)

\(q_e\) è la carica dell’elettrone ed è nota, pari a \(1.602*10^{-19}C \)

\(r\) è la distanza tra le due cariche;

\(k\) è la costante di Coulomb pari a \(8.987*10^9\) \(\frac{kg*m^3}{s^2C^2}\)

Tenuto conto che, dal secondo principio della dinamica, \(F=m*a\) si ha che:

\(m_c=\frac{v^2}{r}=k \frac{q_p q_e}{r^2} \rightarrow\)

\( \rightarrow v^2_c=k k \frac{q_p q_e}{m_c r}\)

E quindi:

\(E_{TOT}=-k \frac{q_p q_e}{r^2}+\frac{1}{2}m_c k \frac{q_p q_e}{m_c r} \rightarrow \)

\( E_{TOT}=-\frac{1}{2} k \frac{q_p q_e}{r} \rightarrow\)

\( r=-\frac{1}{2}k \frac{q_p q_e}{E_{TOT}}\)

Ora tuti i dati sono noti e tenuto in considerazione che:

\(1eV=1.60218*10^{-19}j\)

Si può affermare che:

\(r=\frac{1}{2}8.987*10^9 \frac{kg*m^3}{s^2C^2}\frac{(1.602*10^{-19}C)^2}{13,6*1.60218*10^{-19}J}\approx0.53*10^{-10}m\)

Quindi la distanza a cui si trova l’elettrone dal nucleo è pari a \(0.53*10^{-10} m\)