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Problemi sui triangoli con soluzione e spiegazione

In fondo a questo post puoi scaricare il documento relativo agli esercizi svolti qui di seguito.

1         Esercizio 1

1.1         Testo

Determina l’elemento incognito nelle seguenti figure:

Figura 1 Figure problema

1.2         Soluzione

1.2.1        Punto a

L’incognita richiesta è \( \overline{B C}\).

Per risolvere il punto si può osservare che:

\(\overline{B C} \cdot \cos \left(55^{\circ}\right)+\overline{C A} \cdot \cos \left(85^{\circ}\right)=12\)

Inoltre si può osservare che:

\(\overline{B C} \cdot \sin \left(55^{\circ}\right)=\overline{C A} \cdot \sin \left(85^{\circ}\right)\)

Perciò per trovare il valore di \(\overline{BC}\)basta risolvere il seguente sistema:

\( \left \{ \begin{matrix} \overline{B C} \cdot \cos (55^{\circ}) + \overline{C A} \cdot \cos{ (85^{\circ})}=12 \\ \overline{B C} \cdot \sin (55^{\circ}) = \overline{C A} \cdot \sin{ (85^{\circ})} \end{matrix} \right.\)

Da cui:

\( \left \{ \begin{matrix} \overline{B C} \cdot \cos (55^{\circ}) + \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \overline{B C} \cdot \cos{ (85^{\circ})}=12 \\ \overline{C A} = \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \overline{B C} \end{matrix} \right.\)

E quindi:

\(\overline{B C} = \frac{12}{\cos (55^{\circ}) + \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \cdot \cos{ (85^{\circ})}} \approx 18.6 cm\)

1.2.2        Punto b

L’incognita richiesta è \(\cos{(\alpha)}\) .

Secondo la formula del triangolo qualunque vale che:

\( 14^2 = 10^2 + 12^2 – 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos{(\alpha)}\)

Quindi:

\( \cos \alpha=-\frac{14^{2}-10^{2}-12^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 12}=0.2\)

1.2.3        Punto c

L’incognita è \( r\).

Per il teorema della corda:

\( \overline{A B}=2 r \cdot \sin \left(38^{\circ}\right)\)

Quindi:

\( r=\frac{10}{2 \cdot \sin \left(38^{\circ}\right)} \approx 8.12\)

2         Esercizio 2

2.1         Testo

Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci le misure dei lati: a=20; b=24; c =14.

2.2         Soluzione

Secondo la formula del triangolo qualunque vale che:

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos \alpha\)

Quindi:

\( 20^{2}=24^{2}+14^{2}-2 \cdot 24 \cdot 14 \cdot \cos \alpha\)

E:

\( \cos \alpha=-\frac{20^{2}-24^{2}-14^{2}}{2 \cdot 24 \cdot 14} \approx 0.55\)

Da cui:

\( \alpha=\arccos (0.55) \approx 56.63^{\circ}\)

Per trovare l’angolo \( \beta\) invece si considera che:

\( b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cdot \cos \beta\)

Quindi:

\( 24^{2}=20^{2}+14^{2}-2 \cdot 20 \cdot 14 \cdot \cos \beta\)

E:

\( \cos \beta=-\frac{24^{2}-20^{2}-14^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 14} \approx 0.036\)

Da cui:

\( \beta=\arccos (0.036) \approx 87.93^{\circ}\)

Invece per calcolare \( \gamma\) si considera la seguente somma:

\(\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\)

E quindi:

\( \gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-\left(87.93^{\circ}+56.63^{\circ}\right)=35.44^{\circ}\)

3         Esercizio 3

3.1         Testo

Determina la lunghezza del terzo lato e l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci i

seguenti elementi: a=20; b=28; γ =14°.

3.2         Soluzione

Per trovare il terzo lato si osserva che:

\( c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos \gamma\)

Quindi:

\( c=\sqrt{20^{2}+28^{2}-2 \cdot 20 \cdot 28 \cdot \cos (14)} \approx 9.86\)

Per trovare l’angolo \( \beta\) si osserva che:

\( b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cdot \cos \beta\)

E quindi:

\( \cos \beta=-\frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2 a c}=-\frac{28^{2}-20^{2}-9.86^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 9.86} \approx 0.73\)

Da cui:

\( \beta=\arccos (0.44) \approx 43.11^{\circ}\)

Invece per calcolare \( \gamma\) si considera la seguente somma:

\(\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}\)

E quindi:

\(\alpha=180^{\circ}-(\gamma+\beta)=180^{\circ}-\left(14^{\circ}+43.11^{\circ}\right)=122.89^{\circ}\)