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Soluzione esercizio N°134 pag. 1254 – 4 matematica.blu 2.0 con Tutor

Testo

Stabilisci la posizione reciproca dei piani che hanno le seguenti equazioni:

\( \alpha : x-y+4=0; \beta : 4x – 4y + z + 4=0\)

Soluzione

Per determinare la posizione reciproca dei piani si considera che i vettori perpendicolari ai piani sono dati dai loro coefficienti a, b e c. Si ricorda che l’equazione di un piano generico è data dalla formula:

\( ax+by+cz+d=0\)

Il vettore perpendicolare al piano generico è dunque nella forma generica:

\(n(a;b;c)\)

Si ricorda quanto segue:

tabella piani
Tabella 1. Casistiche possibili per due piani di equazioni generiche \( a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1 = 0 e a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2 = 0\)

Siccome è evidente che non rientrano nel caso dei coincidenti si prendano in considerazione i due vettori perpendicolari ai due piani:

\(\vec{n_1}(1;-1;0), \vec{n_2}(4;4;1)\)

Per calcolare il prodotto scalare tra i due vettori basta procedere come segue:

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(4) + (-1)(4) + (0)(1) = 4 – 4 = 0\)

Quindi i due piani sono perpendicolari.