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Come risolvere esercizio N°140a pag. 1255 (4 matematica.blu 2.0 con Tutor)

Testo

Completa in modo che i piani \( \alpha\) e \( \beta\) siano perpendicolari:

\(\alpha : x+y-4=0; \beta : 4x+\blacksquare y + \blacksquare z=0\)

Soluzione

Per stabilire la posizione reciproca dei piani si considera che i vettori perpendicolari ai piani sono dati dai loro coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\). Si ricorda che l’equazione di un piano generico è data dalla formula:

\( ax+by+cz+d=0\)

Il vettore perpendicolare al piano generico è dunque nella forma generica:

\( n(a;b;c)\)

Si ricorda quanto segue:

tabella piani
Tabella 1. Casistiche possibili per due piani di equazioni generiche \( a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1 = 0 e a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2 = 0\)

Si prendano in considerazione i due vettori perpendicolari ai due piani:

\( \vec{n_1}(1;1;-4), \vec{n_2}(4;n_y;n_z)\)

Deve ora essere imposto che il prodotto scalare tra i due vettori sia uguale a zero:

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(4) + (1)(n_y) + (-4)(n_z) = 4 + n_y – n_z = 0\)

Quindi:

\(n_{y}  = 4 (n_{z} -1)\)

A questo punto basta scegliere \( n_z\) a piacere e calcolare \( n_y\) dalla formula. Scegliamo per esempio:

\(n_{z}  = 0\)

Ciò significa che:

\( n_{y}  = 4 (0 -1) = -4\)

Quindi uno dei piani perpendicolari a\( x+y-4=0\) è per esempio:

\( 4x-4y=0\)

Per verificare che la soluzione sia corretta basta ricalcolare il prodotto scalare \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\) e verificare che è uguale a zero.