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Soluzione pag 131 n 495 (La matematica a colori – Algebra 2)

Testo

Un rettangolo, inscritto in una circonferenza, ha perimetro uguale a 30k; inoltre si sa che la somma della metà della base del rettangolo con l’altezza è 10k. Determina il raggio della circonferenza.

Soluzione

Dai dati si capisce che il rettangolo ABCD ha perimetro 30k, quindi:

\(\overline{AB} + \overline{BC} +\overline{CD} + \overline{DA} = 30k\)

La quale, tenendo in considerazione che \( \overline{AB}=\overline{CD}\) e che \(\overline{BC}=\overline{DA}\), si può riscrivere come segue:

\( 2\overline{AB} + 2\overline{BC}  = 30k\)

Se \( \overline{AB}\) è la base e \(\overline{BC}\) è l’altezza si sa (dal testo del problema) anche che:

\( \frac{\overline{AB}}{2}+ \overline{BC} = 10k\)

Entrambe le equazioni precedenti devono essere contemporaneamente soddisfatte, quindi non ci rimane che risolvere il seguente sistema:

\( \left\{\begin{matrix}
\frac{\overline{AB}}{2}+ \overline{BC} = 10k
\\ 2\overline{AB} + 2\overline{BC}  = 30k
\end{matrix}\right. \)

Ovvero:

\(\left\{\begin{matrix}
\overline{AB}+ 2\overline{BC} = 20k
\\ 2\overline{AB} + 2\overline{BC}  = 30k
\end{matrix}\right. \)

Sottraendo la prima alla seconda si ottiene:

\( \overline{AB}=10k\)

E quindi, di conseguenza, si scopre facilmente che:

\( \overline{BC}=5k\)

A questo punto conosciamo base e altezza del rettangolo.

Consideriamo ora che il rettangolo è inscritto nella circonferenza, come nella figura seguente.

rettangolo inscritto nella circonferenza

Figura 1. Il rettangolo è inscritto nella circonferenza

Dalla Figura 1 si può evincere che la diagonale del rettangolo è anche il diametro della circonferenza e dunque si può, sfruttando il teorema di Pitagora, dire che:

\(\overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2} = \overline{BD}^{2}\)

E quindi si fa presto a dire che:

\(\overline{BD} = \sqrt{10^{2}k^{2}+5^{2}k^{2}}\)

Ovvero:

\( \overline{BD} = k \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}k\)

Da cui il raggio della circonferenza è:

\( r = \frac{\overline{BD}}{2} = \frac{5 \sqrt{5}}{2}k\)