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Esercizio: disequazione di secondo grado logaritmica

Si vogliono trovare i valori di \( x\) che soddisfano la seguente disequazione:

\( [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0\)

Soluzione

Per risolvere la disequazione si pone:

\( t=log_{2}(x+5)\)

E così la disequazione di secondo grado diventa:

\( t^{2}-t-6>0\)

Di cui l’equazione di secondo grado associata ha soluzioni del tipo:

\( t_{1,2}= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-6)}}{2 \cdot (1)} \rightarrow\)

\( t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \rightarrow\)

\( t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2} \rightarrow\)

Da cui:

\( t_{1}=-2\)

\(e t_{2}=3\)

E quindi, essendo che \( t^{2}-t-6\) ha il coefficiente \( a>0\) (quindi è una parabola con concavità rivolta verso l’alto), si ha che è soddisfatta per valori di \(t\) nei seguenti intervalli:

\(t<-2 \vee t>3\)

Ricordiamo ora che:

\( t=log_{2}(x+5)\)

Il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero e cioè:

\( (x+5) > 0 \rightarrow\)

\( x>-5\)

Quindi si accettano soluzioni della \( [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0\) solo se \( x>-5\).

D’altra parte se è vero che \( t=log_{2}(x+5)\)deve anche essere che le soluzioni della disequazione di secondo grado logaritmica devono soddisfare:

\( log_{2}(x+5)<-2 \vee log_{2}(x+5)>3\)

Ovvero dovrebbe essere che:

\( (x+5)< \frac{1}{4} \vee (x+5)>8\)

E quindi:

\( x< – \frac{19}{4} \vee x>3\)

Ma siccome doveva essere che \(x>-5\)le soluzioni sono:

\( -5<x< – \frac{19}{4} \vee x>3\)

Qui di seguito è rappresentata la funzione e le regioni in cui è maggiore di zero, che corrispondono alle soluzioni trovate.

logaritmo.png
Figura 1. in rosso la funzione \(y=[log(2,x+5)]^{2}-log(2,x+5)-6\). In violetto le regioni in cui è positiva (maggiore di zero). La funzione risulta effettivamente essere positiva per \( -5<x< – \frac{19}{4} \vee x>3\)